પરિમિતિ એટલે શું?
કોઈ પણ બંધસમતલીય આકૃતિની પરિમિતિ એ તેની સીમા પર એકવાર ફરવાથી આવરી લેવાતું અંતર છે.
બહુકોણ (polygon): રેખાખંડોથી બનેલી બંધ સમતલીય આકૃતિ માટે પરિમિતિ એ તેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો છે. એટલે કે, તેની બહારની સીમા પરનું કુલ અંતર.
લંબચોરસની પરિમિતિ (Perimeter of Rectangle)
ઉકેલ: લંબચોરસની સામસામેની બાજુઓ હંમેશા સમાન હોય છે, તેથી AB = CD = 12 સેમી અને AD = BC = 8 સેમી.
| લંબચોરસની પરિમિતિ | = | તેની ચાર બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો |
| = | AB + BC + CD + DA | |
| = | AB + BC + AB + BC | |
| = | 2 × AB + 2 × BC | |
| = | 2 × (AB + BC) | |
| = | 2 × (12 સેમી + 8 સેમી) | |
| = | 2 × (20 સેમી) | |
| = | 40 સેમી |
જવાબ: લંબચોરસ ABCD ની પરિમિતિ 40 સેમી થાય.
(લંબચોરસની પરિમિતિ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈના સરવાળા કરતાં બમણી હોય છે)
ચોરસની પરિમિતિ (Perimeter of a Square)
ઉકેલ: દેબોજીત ચોરસ ફોટોફ્રેમની આસપાસ રંગીન પટ્ટી લગાવવા માંગતો હોવાથી, તેને ફોટોફ્રેમની પરિમિતિ શોધવાની જરૂર છે.
| જરૂરી પટ્ટીની લંબાઈ | = | ચોરસની પરિમિતિ |
| = | ચારેય બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો | |
| = | 1 મી + 1 મી + 1 મી + 1 મી | |
| = | 4 મીટર |
ચોરસની ચારેય બાજુઓની લંબાઈ સરખી હોવાથી સરવાળાને બદલે 4 વડે ગુણી શકાય:
| જરૂરી પટ્ટીની લંબાઈ | = | 4 × બાજુની લંબાઈ |
| = | 4 × 1 મીટર | |
| = | 4 મીટર |
જવાબ: જરૂરી રંગીન પટ્ટીની લંબાઈ 4 મીટર હશે.
(ચોરસની પરિમિતિ તેની બાજુની લંબાઈ કરતાં ચાર ગણી છે)
ત્રિકોણની પરિમિતિ (Perimeter of a Triangle)
ઉકેલ:
| ત્રિકોણની પરિમિતિ | = | તેની ત્રણ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો |
| = | 4 સેમી + 5 સેમી + 7 સેમી | |
| = | 16 સેમી |
જવાબ: ત્રિકોણની પરિમિતિ 16 સેમી છે.
અક્ષીનો ટેબલક્લોથ (ઝૂલ - Lace)
ઉકેલ :
લંબચોરસ ટેબલક્લોથની લંબાઈ = 3 મીટર
લંબચોરસ ટેબલક્લોથની પહોળાઈ = 2 મીટર
અક્ષી ટેબલક્લોથની ફરતે ઝૂલ લગાવવા માંગે છે. એટલે કે, જરૂરી ઝૂલની લંબાઈ એ લંબચોરસ ટેબલક્લોથની પરિમિતિ જેટલી છે.
| લંબચોરસ ટેબલક્લોથની પરિમિતિ | = | 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ) |
| = | 2 × (3 મી + 2 મી) | |
| = | 2 × 5 મી | |
| = | 10 મીટર |
જવાબ: તેથી, જરૂરી ઝૂલની લંબાઈ 10 મીટર છે.
ઉષા દ્વારા બગીચાના 3 ચક્કર
ઉકેલ :
| ચોરસ બગીચાની પરિમિતિ | = | 4 × બાજુની લંબાઈ |
| = | 4 × 75 મીટર | |
| = | 300 મીટર |
ઉષા દ્વારા એક ચક્કરમાં કપાયેલું અંતર = 300 મીટર
| ઉષા દ્વારા ત્રણ ચક્કરમાં કપાયેલું કુલ અંતર | = | 3 × 300 મીટર |
| = | 900 મીટર |
જવાબ: ઉષાએ ત્રણ ચક્કરમાં કુલ 900 મીટર અંતર કાપ્યું.
1. ખૂટતાં પદ શોધો:
b. ચોરસની પરિમિતિ = 20 સેમી; બાજુની લંબાઈ = ?
c. લંબચોરસની પરિમિતિ = 12 મી; લંબાઈ = 3 મી; પહોળાઈ = ?
a. નો ઉકેલ:
| લંબચોરસની પરિમિતિ | = | 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ) |
| 14 સેમી | = | 2 × (લંબાઈ + 2 સેમી) |
| 14 ÷ 2 | = | લંબાઈ + 2 |
| 7 | = | લંબાઈ + 2 |
| લંબાઈ | = | 7 - 2 = 5 સેમી |
b. નો ઉકેલ:
| ચોરસની પરિમિતિ | = | 4 × બાજુની લંબાઈ |
| 20 સેમી | = | 4 × બાજુની લંબાઈ |
| બાજુની લંબાઈ | = | 20 ÷ 4 |
| = | 5 સેમી |
c. નો ઉકેલ:
| લંબચોરસની પરિમિતિ | = | 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ) |
| 12 મીટર | = | 2 × (3 મીટર + પહોળાઈ) |
| 12 ÷ 2 | = | 3 + પહોળાઈ |
| 6 | = | 3 + પહોળાઈ |
| પહોળાઈ | = | 6 - 3 = 3 મીટર |
2. તારમાંથી લંબચોરસ અને ચોરસ
ઉકેલ:
તારની કુલ લંબાઈ એ લંબચોરસની પરિમિતિ જેટલી થશે.
| તારની કુલ લંબાઈ | = | લંબચોરસની પરિમિતિ |
| = | 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ) | |
| = | 2 × (5 સેમી + 3 સેમી) | |
| = | 2 × 8 સેમી | |
| = | 16 સેમી |
હવે, તે જ તારમાંથી ચોરસ બનાવવામાં આવે છે, તેથી ચોરસની પરિમિતિ = 16 સેમી થશે.
| ચોરસની પરિમિતિ | = | 4 × બાજુની લંબાઈ |
| 16 સેમી | = | 4 × બાજુની લંબાઈ |
| ચોરસની બાજુની લંબાઈ | = | 16 ÷ 4 |
| = | 4 સેમી |
જવાબ: ચોરસની બાજુની લંબાઈ 4 સેમી હશે.
3. ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુની લંબાઈ
ઉકેલ: ત્રિકોણની પરિમિતિ = 55 સેમી. બે બાજુઓ 20 સેમી અને 14 સેમી છે.
| બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો | = | 20 સેમી + 14 સેમી = 34 સેમી |
| ત્રિકોણની પરિમિતિ | = | ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો |
| 55 સેમી | = | 34 સેમી + ત્રીજી બાજુ |
| ત્રીજી બાજુની લંબાઈ | = | 55 સેમી - 34 સેમી |
| = | 21 સેમી |
જવાબ: ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુની લંબાઈ 21 સેમી થશે.
4. બગીચાને ફરતે વાડ બનાવવાનો ખર્ચ
ઉકેલ: વાડ હંમેશાં બગીચાની સીમા (બોર્ડર) પર કરવાની હોવાથી પરિમિતિ શોધવી પડે.
| લંબચોરસ બગીચાની પરિમિતિ | = | 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ) |
| = | 2 × (150 મીટર + 120 મીટર) | |
| = | 2 × 270 મીટર | |
| = | 540 મીટર |
હવે, 1 મીટર વાડ બનાવવાનો ખર્ચ = ₹ 40
| વાડ બનાવવાનો કુલ ખર્ચ | = | 540 × ₹ 40 |
| = | ₹ 21,600 |
જવાબ: બગીચાને ફરતે વાડ બનાવવાનો કુલ ખર્ચ ₹ 21,600 થશે.
5. 36 સેમી દોરીમાંથી વિવિધ આકારોની બાજુની લંબાઈ
a. ચોરસ,
b. બધી બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય તેવો ત્રિકોણ,
c. સમાન લંબાઈની બાજુઓવાળો ષટ્કોણ (Hexagon) (છ બાજુવાળી બંધ આકૃતિ)?"
દોરીની લંબાઈ = દરેક આકારની પરિમિતિ = 36 સેમી.
a. ચોરસ માટે (4 સમાન બાજુ):
| ચોરસની બાજુની લંબાઈ | = | પરિમિતિ ÷ 4 = 36 ÷ 4 = 9 સેમી |
b. સમભુજ ત્રિકોણ માટે (3 સમાન બાજુ):
| ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ | = | પરિમિતિ ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12 સેમી |
c. સમાન બાજુઓવાળા ષટ્કોણ માટે (6 સમાન બાજુ):
| ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ | = | પરિમિતિ ÷ 6 = 36 ÷ 6 = 6 સેમી |
6. ખેડૂતના ખેતરમાં 3 આંટાની વાડ
ઉકેલ: 1 આંટાની વાડ માટે જરૂરી દોરડું = ખેતરની પરિમિતિ.
| ખેતરની પરિમિતિ | = | 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ) |
| = | 2 × (230 મીટર + 160 મીટર) | |
| = | 2 × 390 મીટર | |
| = | 780 મીટર |
ખેડૂત 3 આંટાની વાડ લગાવવા માંગે છે:
| જરૂરી દોરડાની કુલ લંબાઈ | = | 3 × ખેતરની પરિમિતિ |
| = | 3 × 780 મીટર | |
| = | 2340 મીટર |
જવાબ: જરૂરી દોરડાની કુલ લંબાઈ 2340 મીટર છે.
દોડ પથ કોયડો
દરેક પથ એક લંબચોરસ છે. અક્ષીના પથની લંબાઈ 70 મીટર અને પહોળાઈ 40 મીટર છે. આ પથ પર એક સંપૂર્ણ ચક્કર દોડવાથી 220 મીટરનું અંતર કપાશે એટલે કે, 2 × (70 + 40) મીટર = 220 મીટર. આ એક ચક્કરમાં અક્ષી દ્વારા કપાયેલું અંતર છે."
1. 5 ચક્કરમાં અક્ષી દ્વારા કપાયેલું કુલ અંતર:
| અક્ષીનું કુલ અંતર | = | 5 × 220 મીટર |
| = | 1100 મીટર |
2. 7 ચક્કરમાં તોષી દ્વારા કપાયેલું કુલ અંતર અને સરખામણી:
| તોષીના 1 ચક્કરનું અંતર | = | 2 × (60 + 30) = 2 × 90 = 180 મીટર |
| 7 ચક્કરમાં કપાયેલું અંતર | = | 7 × 180 મીટર = 1260 મીટર |
સરખામણી: તોષીનું અંતર (1260 મીટર) > અક્ષીનું અંતર (1100 મીટર).
જવાબ: તોષી વધારે અંતર દોડી (1260 - 1100 = 160 મીટર વધુ).
3. વિચારો અને નિર્દેશ મુજબ સ્થાનો:
• a. 250 મીટર પછી અક્ષી: 1 ચક્કર (220 મી) + 30 મીટર આગળ ➜ સ્થાન ‘A’
• b. 500 મીટર પછી અક્ષી: 2 ચક્કર (440 મી) + 60 મીટર આગળ ➜ સ્થાન ‘B’
• c. 1000 મીટર પછી અક્ષી: 1000 ÷ 220 = 4 સંપૂર્ણ ચક્કર અને 120 મીટર આગળ ➜ સ્થાન ‘C’
• d. 250 મીટર પછી તોષી: 1 ચક્કર (180 મી) + 70 મીટર આગળ ➜ સ્થાન ‘X’
• e. 500 મીટર પછી તોષી: 2 ચક્કર (360 મી) + 140 મીટર આગળ ➜ સ્થાન ‘Y’
સામાન્ય અંતિમરેખા (350 મીટર દોડ)
ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ કરો: દોડમાં, સામાન્ય રીતે બધા દોડવીરો માટે એક સામાન્ય અંતિમરેખા હોય છે. અહીં બે ચોરસ પથ છે. જેમાં અંદરના પથની દરેક બાજુ 100 મીટર છે અને બહારના પથની દરેક બાજુ 150 મીટર છે. બંને દોડવીરો માટે સામાન્ય અંતિમરેખા આકૃતિમાં ધ્વજ દ્વારા બતાવવામાં આવી છે, જે પથની એક બાજુની મધ્યમાં છે.
જો કુલ દોડ 350 મીટરની હોય, તો આપણે શોધવાનું છે કે બંને દોડવીરોની શરૂઆતની સ્થિતિ આ બે પથ પર ક્યાં હોવી જોઈએ, જેથી તેઓ 350 મીટર દોડ્યા પછી એક સામાન્ય અંતિમરેખા પર હોય. અંદરના પથ પર દોડનારની શરૂઆતની સ્થિતિ બિંદુ ‘A’ તરીકે અને બહારના પથ પર દોડનારની શરૂઆતની સ્થિતિ ‘B’ તરીકે દર્શાવો."
• તોષી 1000 મીટર દોડે તો (પ્રશ્ન f):
1000 ÷ 180 = 5 સંપૂર્ણ ચક્કર (900 મીટર) અને 100 મીટર આગળ ➜ સ્થાન ‘Z’
350 મીટર દોડમાં પ્રારંભિક બિંદુ A અને B:
| અંદરના પથની પરિમિતિ | = | 4 × 100 મીટર = 400 મીટર |
| દોડવાનું અંતર | = | 350 મીટર |
| ફિનિશ લાઇનથી બાકી અંતર | = | 400 - 350 = 50 મીટર |
👉 બિંદુ ‘A’: અંદરના દોડવીરે અંતિમ રેખાથી 50 મીટર પાછળથી શરૂ કરવું પડે.
| બહારના પથની પરિમિતિ | = | 4 × 150 મીટર = 600 મીટર |
| દોડવાનું અંતર | = | 350 મીટર |
👉 બિંદુ ‘B’: બહારના દોડવીરે અંતિમ રેખાથી ઘડિયાળના કાંટાની ઊલટી દિશામાં ગણતાં 350 મીટર પાછળથી શરૂ કરવું પડે.
ત્રિકોણની પરિમિતિ 9 એકમ કે તેથી વધુ?
વિશ્લેષણ:
1. ત્રિકોણની બે બાજુઓ સીધી રેખાઓ (Straight lines = s) પર 3 એકમ અને 3 એકમ છે (કુલ 6s એકમ).
2. ત્રીજી બાજુ ત્રાસી રેખા (Diagonal = d) પર 3 એકમ છે (3d એકમ).
3. ચોરસ ગ્રીડમાં ત્રાસી લીટીની લંબાઈ (વિકર્ણ) હંમેશા સીધી લીટી કરતાં મોટી હોય છે (લગભગ 1.41 એકમ).
4. તેથી, 3 ત્રાસા એકમ > 3 સીધા એકમ.
જવાબ: તોષી સાચી છે! ત્રિકોણની પરિમિતિ 9 એકમથી વધુ હશે. તેને ટૂંકમાં 6s + 3d એકમ લખાય.
ડૉટ ગ્રીડ પર F, O, U, N આકારોની પરિમિતિ
👉 નીચેની આકૃતિઓની પરિમિતિ સીધા અને વિકર્ણ એકમના સંદર્ભમાં લખો : F, O, U, N"
ગણતરી અને ઉકેલ (જ્યાં s = સીધો એકમ, d = વિકર્ણ એકમ) :
| આકાર F ની પરિમિતિ | = | 5 સીધા એકમ + 3 વિકર્ણ એકમ = 5s + 3d એકમ |
| આકાર O ની પરિમિતિ | = | 2 સીધા એકમ + 4 વિકર્ણ એકમ = 2s + 4d એકમ |
| આકાર U ની પરિમિતિ | = | 8 સીધા એકમ + 2 વિકર્ણ એકમ = 8s + 2d એકમ |
| આકાર N ની પરિમિતિ | = | 8 સીધા એકમ + 4 વિકર્ણ એકમ = 8s + 4d એકમ |
સમભુજ ત્રિકોણની પરિમિતિ (Perimeter of an Equilateral Triangle)
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈ પણ ત્રિકોણ માટે તેની પરિમિતિ તેની ત્રણેય બાજુઓનો સરવાળો છે. આ સમજણનો ઉપયોગ કરીને સમભુજ ત્રિકોણની પરિમિતિનું સૂત્ર મેળવો.
👉 ચોરસ (square) અને સમભુજ ત્રિકોણ (equilateral triangle) વચ્ચે શું સમાનતા છે?"
| સમભુજ ત્રિકોણની પરિમિતિ | = | AB + BC + AC |
| = | AB + AB + AB (∵ ત્રણેય બાજુઓ સરખી છે) | |
| = | 3 × AB | |
| = | 3 × એક બાજુની લંબાઈ |
ચોરસ અને સમભુજ ત્રિકોણ વચ્ચેની સમાનતા:
1. બંને નિયમિત બહુકોણ (Regular Polygons) છે.
2. ચોરસની બધી જ (ચારેય) બાજુઓ સમાન હોય છે, અને સમભુજ ત્રિકોણની પણ બધી જ (ત્રણેય) બાજુઓ સમાન લંબાઈની હોય છે.
3. બંનેના તમામ ખૂણાઓ પણ પરસ્પર સમાન હોય છે.
કાગળના ટુકડાઓની ગોઠવણી અને પરિમિતિ
ઉદાહરણ તરીકે, ગોઠવણી aની પરિમિતિ (perimeter) 28 સેમી છે.
નીચેની દરેક ગોઠવણીની સીમાની લંબાઈ (એટલે કે, પરિમિતિ) શોધો : b, c, d
👉 આ બે ટુકડાઓને 22 સેમીની પરિમિતિવાળી આકૃતિ બનાવવા માટે ગોઠવો."
વિશ્લેષણ: 6 સેમી × 4 સેમી કાગળને કાપતાં મળતા બંને ટુકડાનું માપ 6 સેમી × 2 સેમી છે.
ગોઠવણી a (લાંબી પટ્ટી): લંબાઈ = 6 + 6 = 12 સેમી, પહોળાઈ = 2 સેમી
| પરિમિતિ | = | 2 × (12 સેમી + 2 સેમી) = 2 × 14 સેમી = 28 સેમી |
ગોઠવણી b (L-આકાર): બહારની તમામ 6 બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો
| પરિમિતિ | = | 6 + 2 + 4 + 4 + 2 + 6 = 24 સેમી |
ગોઠવણી c (મૂળ લંબચોરસ): લંબાઈ = 6 સેમી, પહોળાઈ = 2 + 2 = 4 સેમી
| પરિમિતિ | = | 2 × (6 સેમી + 4 સેમી) = 2 × 10 સેમી = 20 સેમી |
ગોઠવણી d (T-આકાર): બહારની સીમાઓનો સરવાળો
| પરિમિતિ | = | 2 + 2 + 4 + 6 + 4 + 2 + 2 + 2 = 24 સેમી |
🎯 22 સેમીની પરિમિતિવાળી ગોઠવણી:
બંને ટુકડા (6 સેમી × 2 સેમી) ને લાંબી લાઈનમાં જોડતી વખતે એકબીજા પર બરાબર 1 સેમી નો ઓવરલેપ રાખવામાં આવે, તો નવી લંબાઈ 11 સેમી અને પહોળાઈ 2 સેમી ન રહેતાં બાજુઓનો સરવાળો બરાબર 22 સેમી થાય છે (28 - 2 × 3 = 22 સેમી).
ક્ષેત્રફળ એટલે શું? (What is Area?)
બંધસમતલીય આકૃતિ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશના માપને તેનું ક્ષેત્રફળ કહેવામાં આવે છે. ક્ષેત્રફળ હંમેશાં ચોરસ એકમ (ચોરસ સેમી / ચોરસ મીટર) માં મપાય છે.
ઓરડામાં શેતરંજી પાથરવાનો દાખલો
ઉકેલ :
ભોંયતળિયાની લંબાઈ = 5 મીટર, ભોંયતળિયાની પહોળાઈ = 4 મીટર
| ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ | = | લંબાઈ × પહોળાઈ |
| = | 5 મીટર × 4 મીટર | |
| = | 20 ચોમી |
ચોરસ શેતરંજીની લંબાઈ = 3 મીટર
| શેતરંજીનું ક્ષેત્રફળ | = | લંબાઈ × લંબાઈ |
| = | 3 મીટર × 3 મીટર | |
| = | 9 ચોમી |
આમ, શેતરંજી પાથરેલા ભોંયતળિયાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ 9 ચોમી છે.
| શેતરંજી વગરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ | = | ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ – શેતરંજીનું ક્ષેત્રફળ |
| = | 20 ચોમી – 9 ચોમી | |
| = | 11 ચોમી |
જવાબ: શેતરંજી પાથરેલી ન હોય તેવા ભાગનું ક્ષેત્રફળ 11 ચોરસ મીટર થાય.
જમીનના ટુકડામાં 4 ખૂણામાં ફૂલના ક્યારા
ઉકેલ:
જમીનની લંબાઈ (l) = 12 મી, જમીનની પહોળાઈ (w) = 10 મી
| જમીનનું કુલ ક્ષેત્રફળ | = | l × w = 12 મી × 10 મી = 120 ચોમી |
ચાર ચોરસ ફૂલના ક્યારાઓમાંથી દરેકની બાજુની લંબાઈ (s) = 4 મી
| એક ક્યારાનું ક્ષેત્રફળ | = | s × s = 4 મી × 4 મી = 16 ચોમી |
| ચાર ક્યારાઓનું કુલ ક્ષેત્રફળ | = | 4 × 16 ચોમી = 64 ચોમી |
| બાકીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ | = | 120 ચોમી – 64 ચોમી = 56 ચોમી |
જવાબ: જમીનના બાકીના ભાગનું ક્ષેત્રફળ 56 ચોરસ મીટર છે.
| લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ | = | લંબાઈ × પહોળાઈ |
| 300 ચોમી | = | 25 મી × પહોળાઈ |
| પહોળાઈ | = | 300 ÷ 25 |
| = | 12 મીટર |
| પ્લોટનું ક્ષેત્રફળ | = | લંબાઈ × પહોળાઈ |
| = | 500 મી × 200 મી | |
| = | 1,00,000 ચોરસ મીટર | |
| લાદી લગાવવાનો કુલ ખર્ચ | = | (1,00,000 ÷ 100) × ₹ 8 |
| = | 1000 × 8 = ₹ 8,000 |
| બગીચાનું ક્ષેત્રફળ | = | 100 મી × 50 મી = 5000 ચોરસ મીટર |
| વૃક્ષોની મહત્તમ સંખ્યા | = | કુલ ક્ષેત્રફળ ÷ 1 વૃક્ષની જગ્યા |
| = | 5000 ÷ 25 = 200 વૃક્ષો |
જવાબ: આ બગીચામાં વધુમાં વધુ 200 વૃક્ષો વાવી શકાય.
4. આકૃતિઓને લંબચોરસમાં વિભાજિત કરીને ક્ષેત્રફળ શોધો
આકૃતિ (a) નું ક્ષેત્રફળ:
| લંબચોરસ 1 નું ક્ષેત્રફળ | = | 4 મી × 3 મી = 12 ચોમી |
| લંબચોરસ 2 નું ક્ષેત્રફળ | = | 2 મી × 5 મી = 10 ચોમી |
| બાકી ભાગ | = | 4 ચોમી |
| કુલ ક્ષેત્રફળ | = | 12 + 10 + 4 = 26 ચોરસ મીટર |
આકૃતિ (b) [U-આકાર] નું ક્ષેત્રફળ:
| સંપૂર્ણ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ | = | 5 મી × 3 મી = 15 ચોમી |
| વચ્ચેના ખાલી ભાગનું ક્ષેત્રફળ | = | 3 મી × 2 મી = 6 ચોમી |
| આકૃતિ (b) નું ક્ષેત્રફળ | = | 15 ચોમી – 6 ચોમી = 9 ચોરસ મીટર |
ટેનગ્રામના 7 ટુકડાઓ અને તેના પ્રશ્નો
1. ચકાસો અને શોધો કે, કેટલા ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે?
2. આકાર Cની સરખામણીમાં આકાર D કેટલા ગણો મોટો છે? આકાર C, D અને E વચ્ચે શું સંબંધ છે?
3. કયા આકારનું ક્ષેત્રફળ વધુ છે : આકાર D કે F? તમારા જવાબ માટે કારણ આપો.
4. કયા આકારનું ક્ષેત્રફળ વધુ છે : આકાર F કે G? તમારા જવાબ માટે કારણ આપો.
5. આકાર Aનું ક્ષેત્રફળ આકાર Gની સરખામણીમાં કેટલું છે? શું તે બમણું (double) છે? શું તે ચાર ગણું મોટું છે?
6. શું તમે આપેલા બધા જ સાત ટુકડાઓથી બનેલા મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ આકાર Cના ક્ષેત્રફળના સંદર્ભમાં શોધી શકો છો?
7. આ 7 ટુકડાઓને ગોઠવીને એક લંબચોરસ બનાવો. હવે આ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ આકાર Cના ક્ષેત્રફળના સંદર્ભમાં કેટલું હશે? તમારા જવાબ માટે કારણ આપો.
8. આ 7 ટુકડાઓથી બનેલા ચોરસ અને લંબચોરસની પરિમિતિ અલગ છે કે સમાન? તમારા જવાબ માટે સમજૂતી આપો."
ટેનગ્રામના તમામ પ્રશ્નોના સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ જવાબો:
1. આકાર A અને B નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે (બંને મોટા ત્રિકોણ). તેમજ આકાર C અને E નું ક્ષેત્રફળ સમાન છે (બંને નાના ત્રિકોણ).
2. આકાર D (ચોરસ) એ આકાર C કરતાં 2 ગણો મોટો છે. સંબંધ: D = C + E = 2C (કારણ કે C અને E બંને નાના ત્રિકોણ મળીને D જેટલા બને છે).
3. આકાર D અને F બંનેનું ક્ષેત્રફળ સમાન (બરાબર) છે. કારણ કે બંને આકારો બે નાના ત્રિકોણ (2C) જેટલું ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે.
4. આકાર F અને G બંનેનું ક્ષેત્રફળ પણ સમાન છે (F = G = 2C).
5. આકાર A નું ક્ષેત્રફળ આકાર G ની સરખામણીમાં બમણું (2 ગણું) છે. (A = 4C અને G = 2C, તેથી A = 2 × G).
6. સાતેય ટુકડાઓથી બનેલા મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ:
| મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ | = | A(4) + B(4) + C(1) + D(2) + E(1) + F(2) + G(2) |
| = | 16 × આકાર C નું ક્ષેત્રફળ (16C) |
7. આ 7 ટુકડાઓમાંથી લંબચોરસ બનાવતાં તેનું ક્ષેત્રફળ પણ 16 × C નું ક્ષેત્રફળ જ રહેશે, કારણ કે આકાર બદલાય પણ વપરાયેલા ટુકડાઓ તે જ રહે છે.
8. ચોરસ અને લંબચોરસની પરિમિતિ: બંનેની પરિમિતિ અલગ-અલગ (જુદી) હશે. સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતી આકૃતિઓમાં ચોરસ કરતાં લંબચોરસની પરિમિતિ હંમેશાં વધુ હોય છે.
આલેખપત્ર પર ક્ષેત્રફળનો અંદાજ લગાવવાના 4 નિયમો
આપણે કોઈ પણ સરળ બંધ આકારનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ ખાનાવાળા કાગળ અથવા આલેખપત્ર (graph paper)નો ઉપયોગ કરીને માપી શકીએ છીએ, જ્યાં દરેક ચોરસ 1 એકમ × 1 એકમ અથવા 1 ચોરસ એકમ માપનો હોય.
ક્ષેત્રફળનો અંદાજ લગાવવા માટે નીચેના 4 નિયમોનું પાલન કરીશું :
1. આલેખપત્રના એક સંપૂર્ણ નાના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = 1 ચોરસ એકમ લેવું.
2. જે ભાગ અડધા ચોરસ કરતાં ઓછો હોય તેને અવગણવો (ગણતરીમાં 0 લેવું).
3. જો અડધા ચોરસ કરતાં વધુ ભાગ એક પ્રદેશમાં હોય તો તેને 1 સંપૂર્ણ ચોરસ એકમ ગણવો.
4. જો બરાબર અડધો ચોરસ આવતો હોય તો તેનું ક્ષેત્રફળ = 12 ચોરસ એકમ લેવું."
જવાબ: આકૃતિ (a) નું ક્ષેત્રફળ આકૃતિ (b) કરતાં વધારે છે, કારણ કે આકૃતિ (a) આલેખપત્ર પર વધુ સંપૂર્ણ ચોરસ અને અડધાથી વધુ ચોરસ આવરી લે છે.
F, O, U, N આકારોનું ક્ષેત્રફળ (સૂત્ર મુજબ ગણતરી)
બાળકો માટે સામાન્ય સૂત્ર :
કુલ ક્ષેત્રફળ = (સંપૂર્ણ ચોરસ × 1) + (અડધા ચોરસ × 12)
૧. આકાર F નું ક્ષેત્રફળ :
| સંપૂર્ણ ચોરસની સંખ્યા | = | 4 |
| બરાબર અડધા ચોરસની સંખ્યા | = | 2 |
| આકાર F નું ક્ષેત્રફળ | = | (4 × 1) + (2 × 12) |
| = | 4 + 22 | |
| = | 4 + 1 = 5 ચોરસ એકમ |
૨. આકાર O નું ક્ષેત્રફળ :
| સંપૂર્ણ ચોરસ | = | 4 |
| અડધા ચોરસ | = | 4 |
| આકાર O નું ક્ષેત્રફળ | = | (4 × 1) + (4 × 12) |
| = | 4 + 42 = 4 + 2 = 6 ચોરસ એકમ |
૩. આકાર U નું ક્ષેત્રફળ :
| આકાર U નું ક્ષેત્રફળ | = | (6 × 1) + (2 × 12) |
| = | 6 + 1 = 7 ચોરસ એકમ |
૪. આકાર N નું ક્ષેત્રફળ :
| આકાર N નું ક્ષેત્રફળ | = | ઊભા સ્તંભો (6) + ત્રાંસી પટ્ટી (2) = 8 ચોરસ એકમ |
ક્ષેત્રફળ શોધવા ચોરસને બદલે વર્તુળો કેમ ન વાપરી શકાય?
આપેલી આકૃતિમાં તમે જોઈ શકો છો, વર્તુળોને તેમની વચ્ચેની જગ્યા છોડ્યા વગર ચુસ્તપણે ગોઠવી શકાતાં નથી. તેથી, એકમ તરીકે વર્તુળોનો ઉપયોગ કરીને ક્ષેત્રફળનું સચોટ માપ મેળવવું મુશ્કેલ છે. અહીં, સમાન લંબચોરસને બે જુદી જુદી રીતે વર્તુળોથી ભરવામાં આવ્યો છે - પહેલામાં 42 વર્તુળ છે અને બીજામાં 44 વર્તુળ છે."
ચોરસ પસંદ કરવાના 3 મુખ્ય વૈજ્ઞાનિક ફાયદા :
1. ચોરસ એકબીજા સાથે સંપૂર્ણ અડીને ગોઠવાય છે, જેથી વચ્ચે જરાય ખાલી જગ્યા (gap) રહેતી નથી.
2. ચોરસ સમગ્ર સપાટીને 100% આવરી લે છે (Tessellation).
3. લંબાઈ અને પહોળાઈ સમાન હોવાથી ગુણાકાર કરવો એકદમ સરળ બને છે.
2. તમારી શાળાના મેદાનનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ મીટરમાં) શોધો.
સૂત્ર : લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ
• પરસાળ માટે: પરસાળની લંબાઈ અને પહોળાઈ માપી ગુણાકાર કરવાથી ચોરસ મીટરમાં ક્ષેત્રફળ મળે.
• મેદાન માટે: શાળાના મેદાનની લંબાઈ (મીટર) × પહોળાઈ (મીટર) = કુલ ક્ષેત્રફળ (ચોરસ મીટર).
24 ચોરસ એકમ ક્ષેત્રફળવાળા વિવિધ લંબચોરસની પરિમિતિ
a. કયા લંબચોરસની પરિમિતિ સૌથી વધુ છે?
b. ક્યા લંબચોરસની પરિમિતિ સૌથી ઓછી છે?"
સૂત્ર : લંબચોરસની પરિમિતિ = 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ)
| ૧. 24 × 1 લંબચોરસની પરિમિતિ | = | 2 × (24 + 1) = 2 × 25 = 50 એકમ (સૌથી વધુ!) |
| ૨. 12 × 2 લંબચોરસની પરિમિતિ | = | 2 × (12 + 2) = 2 × 14 = 28 એકમ |
| ૩. 8 × 3 લંબચોરસની પરિમિતિ | = | 2 × (8 + 3) = 2 × 11 = 22 એકમ |
| ૪. 6 × 4 લંબચોરસની પરિમિતિ | = | 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 એકમ (સૌથી ઓછી!) |
જવાબો:
a. 24 × 1 માપવાળા લંબચોરસની પરિમિતિ સૌથી વધુ (50 એકમ) છે.
b. 6 × 4 માપવાળા લંબચોરસની પરિમિતિ સૌથી ઓછી (20 એકમ) છે.
32 ચોરસ સેમી ક્ષેત્રફળવાળા લંબચોરસ
સૂત્ર : પરિમિતિ = 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ)
| ૧. 32 સેમી × 1 સેમી | = | 2 × (32 + 1) = 2 × 33 = 66 સેમી (સૌથી વધુ) |
| ૨. 16 સેમી × 2 સેમી | = | 2 × (16 + 2) = 2 × 18 = 36 સેમી |
| ૩. 8 સેમી × 4 સેમી | = | 2 × (8 + 4) = 2 × 12 = 24 સેમી (સૌથી ઓછી) |
💡 બાળકો માટે સામાન્ય નિયમ :
• લંબચોરસ જેટલો પાતળો અને લાંબો હોય (તફાવત મોટો), તેની પરિમિતિ એટલી જ વધારે હોય.
• લંબચોરસ જેટલો ચોરસની નજીક હોય (તફાવત ઓછો), તેની પરિમિતિ એટલી જ ઓછી હોય.
કાગળ કાપીને લંબચોરસમાંથી બે ત્રિકોણ મેળવવા
• ચકાસો! શું આ બે ત્રિકોણ એકબીજા પર બરાબર બંધબેસતા (overlap) થાય છે? શું તેમનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે?
👉 વાદળી લંબચોરસ અને પીળા ત્રિકોણ વચ્ચે શું સંબંધ છે?"
મુખ્ય ગાણિતિક સૂત્ર :
| ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ | = | 12 × લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ |
| = | 12 × (લંબાઈ × પહોળાઈ) |
જવાબ: પીળા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ વાદળી લંબચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતાં અડધું હોય છે.
વાદળી ત્રિકોણ BAD અને લાલ ત્રિકોણ ABE
1. વાદળી ત્રિકોણ BADનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
2. લાલ ત્રિકોણ ABEનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
'લાલ અને વાદળી બંને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે, પરંતુ તેઓ ખૂબ જ અલગ દેખાય છે. ત્રિકોણ ABE વિશે શું? બે અલગઅલગ લંબચોરસના બે અડધા ભાગ છે.'
👉 લંબચોરસ ABCD નું ક્ષેત્રફળ = _________"
ગ્રીડ પર લંબચોરસ ABCD નું ક્ષેત્રફળ :
| લંબાઈ (AB) | = | 6 એકમ |
| પહોળાઈ (AD) | = | 4 એકમ |
| લંબચોરસ ABCD નું ક્ષેત્રફળ | = | લંબાઈ × પહોળાઈ |
| = | 6 × 4 = 24 ચોરસ એકમ |
૧. વાદળી ત્રિકોણ BAD નું ક્ષેત્રફળ :
| ત્રિકોણ BAD નું ક્ષેત્રફળ | = | 12 × લંબચોરસ ABCD નું ક્ષેત્રફળ |
| = | 12 × 24 | |
| = | 242 = 12 ચોરસ એકમ |
૨. લાલ ત્રિકોણ ABE નું ક્ષેત્રફળ (બે લંબચોરસના અડધા ભાગ) :
લીલા લંબચોરસ AFED નું ક્ષેત્રફળ = 3 × 4 = 12 ચોરસ એકમ
પીળા લંબચોરસ BFEC નું ક્ષેત્રફળ = 3 × 4 = 12 ચોરસ એકમ
| ત્રિકોણ AEF નું ક્ષેત્રફળ | = | 12 × લંબચોરસ AFED |
| = | 12 × 12 = 122 = 6 ચોરસ એકમ | |
| ત્રિકોણ BEF નું ક્ષેત્રફળ | = | 12 × લંબચોરસ BFEC |
| = | 12 × 12 = 122 = 6 ચોરસ એકમ | |
| ત્રિકોણ ABE નું ક્ષેત્રફળ | = | ત્રિકોણ AEF + ત્રિકોણ BEF |
| = | 6 + 6 = 12 ચોરસ એકમ |
સાબિતી: લાલ ત્રિકોણ ABE અને વાદળી ત્રિકોણ BAD બંનેનું ક્ષેત્રફળ બરાબર સમાન (12 ચોરસ એકમ) છે!
આકૃતિઓને લંબચોરસ અને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરી ક્ષેત્રફળ શોધો
ધોરણ-૬ ની પદ્ધતિ મુજબ વિભાજન અને સૂત્રો :
૧. આકૃતિ (a) નું ક્ષેત્રફળ :
આકૃતિને વચ્ચેનો ૧ લંબચોરસ અને ૨ કાટકોણ ત્રિકોણમાં વહેંચતાં :
| વચ્ચેનો લંબચોરસ (6 × 4) | = | 6 × 4 = 24 ચોરસ એકમ |
| ઉપરનો ત્રિકોણ (12 × 4 × 1) | = | 42 = 2 ચોરસ એકમ |
| નીચેનો ત્રિકોણ (12 × 4 × 1) | = | 42 = 2 ચોરસ એકમ |
| કુલ ક્ષેત્રફળ | = | 24 + 2 + 2 = 28 ચોરસ એકમ |
૨. આકૃતિ (b) નું ક્ષેત્રફળ :
આકૃતિને ૧ લંબચોરસ અને ૨ કાટકોણ ત્રિકોણમાં વહેંચતાં :
| લંબચોરસ (લંબાઈ 6, પહોળાઈ 4) | = | 6 × 4 = 24 ચોરસ એકમ |
| ઉપરનો ત્રિકોણ (12 × 4 × 3) | = | 122 = 6 ચોરસ એકમ |
| નીચેનો ત્રિકોણ (12 × 4 × 2) | = | 82 = 4 ચોરસ એકમ |
| કુલ ક્ષેત્રફળ | = | 24 + 6 + 4 = 34 ચોરસ એકમ |
૩. આકૃતિ (c) નું ક્ષેત્રફળ :
| બહારનો મોટો લંબચોરસ (6 × 13) | = | 78 ચોરસ એકમ |
| બહારના 4 ત્રિકોણોનું ક્ષેત્રફળ | = | 3 + 3 + 16.5 + 3 = 25.5 ચોરસ એકમ |
| આકૃતિ (c) નું ક્ષેત્રફળ | = | 78 – 25.5 = 52.5 ચોરસ એકમ |
૪. આકૃતિ (d) [M-આકાર] નું ક્ષેત્રફળ :
| નીચેનો ચોરસ (4 × 4) | = | 16 ચોરસ એકમ |
| ઉપરના બે ત્રિકોણ (12 × 2 × 2 × 2) | = | 2 + 2 = 4 ચોરસ એકમ |
| વચ્ચેનો ખાંચો (ત્રિકોણ બાદ કરતાં) | = | 12 × 4 × 3 = 6 ચોરસ એકમ |
| આકૃતિ (d) નું કુલ ક્ષેત્રફળ | = | (16 + 4) – 6 = 14 ચોરસ એકમ |
૫. આકૃતિ (e) [સમચતુષ્કોણ] નું ક્ષેત્રફળ :
વચ્ચેનો વિકર્ણ (4 એકમ) દોરી બે ત્રિકોણમાં વિભાજન કરતાં :
| ઉપરનો ત્રિકોણ | = | 12 × 4 × 2 = 82 = 4 ચોરસ એકમ |
| નીચેનો ત્રિકોણ | = | 12 × 4 × 4 = 162 = 8 ચોરસ એકમ |
| આકૃતિ (e) નું કુલ ક્ષેત્રફળ | = | 4 + 8 = 12 ચોરસ એકમ |
9 એકમ ચોરસમાંથી જુદી જુદી પરિમિતિવાળી આકૃતિઓ
9 એકમ ચોરસ (unit square) (એક ચોરસ એકમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા 9 ચોરસ)નો ઉપયોગ કરીને આપણે બે જુદી જુદી પરિમિતિઓવાળી આકૃતિઓ બનાવી છે - પ્રથમ આકૃતિની પરિમિતિ 12 એકમ છે અને બીજીની પરિમિતિ 20 એકમ છે.
👉 9 એકમ ચોરસનો ઉપયોગ કરીને, નીચેના ઉકેલ મેળવો :
1. સૌથી નાની શક્ય પરિમિતિ કેટલી છે?
2. સૌથી મોટી શક્ય પરિમિતિ કેટલી છે?
3. 18 એકમની પરિમિતિવાળી આકૃતિ બનાવો.
4. શું તમે ઉપરોક્ત ત્રણ પરિમિતિઓમાંથી દરેક માટે અન્ય આકારની આકૃતિઓ બનાવી શકો છો, કે તે પરિમિતિ માટે ફક્ત એક જ આકારની આકૃતિ બને છે? તમારો તર્ક શું છે?"
૧. સૌથી નાની શક્ય પરિમિતિ :
જ્યારે 9 એકમ ચોરસને એકબીજાની સૌથી નજીક ગોઠવીને 3 × 3 માપનો ચોરસ બનાવવામાં આવે ત્યારે પરિમિતિ ન્યૂનતમ મળે છે :
| ચોરસની પરિમિતિ | = | 4 × બાજુની લંબાઈ |
| = | 4 × 3 એકમ = 12 એકમ (સૌથી નાની) |
૨. સૌથી મોટી શક્ય પરિમિતિ :
જ્યારે નવેય ચોરસને એક જ સીધી લાઈનમાં ગોઠવીને 9 × 1 માપનો લાંબો લંબચોરસ બનાવવામાં આવે ત્યારે પરિમિતિ મહત્તમ મળે છે :
| લંબચોરસની પરિમિતિ | = | 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ) |
| = | 2 × (9 + 1) = 2 × 10 = 20 એકમ (સૌથી મોટી) |
૩. 18 એકમની પરિમિતિવાળી આકૃતિ :
જો 9 ચોરસમાંથી 8 ચોરસની 4 × 2 લંબચોરસ પટ્ટી બનાવી ઉપર 1 ચોરસ જોડીએ, તો પરિમિતિ બરાબર 18 એકમ બને છે.
૪. શું અન્ય આકારની આકૃતિઓ બનાવી શકાય? તમારો તર્ક :
હા, બનાવી શકાય. કારણ કે ચોરસોને ખૂણેથી કે કિનારીએથી જુદી જુદી રીતે જોડતાં બાહ્ય સીમા (પરિમિતિ) સમાન રાખીને પણ વિવિધ આકારો (જેવા કે L-આકાર, T-આકાર કે પગથિયાં જેવો આકાર) રચી શકાય છે.
પરિમિતિમાં શું ફેરફાર થશે? (24 એકમવાળી આકૃતિ)
ફરીથી ગણતરી કર્યા વગર અવલોકન કરો, વિચારો અને શોધો કે, જો એક નવો ચોરસ જમણી બાજુએ બતાવ્યા પ્રમાણે જોડવામાં આવે તો પરિમિતિમાં શું ફેરફાર થશે?
👉 શું તમે ચોરસને એવી રીતે મૂકી શકો છો કે પરિમિતિ : a) વધે; b) ઘટે; c) સમાન રહે?"
નવો ચોરસ ઉમેરવાથી પરિમિતિ પર થતી અસર :
a) પરિમિતિ ક્યારે વધે? (+2 એકમ)
જ્યારે નવો ચોરસ આકૃતિની બહારની માત્ર ૧ જ બાજુ સાથે જોડાય :
૧ બાજુ ઢંકાઈ જાય છે (–1) અને ચોરસની નવી ૩ બાજુઓ ખુલ્લી થાય છે (+3).
કુલ ફેરફાર = +3 – 1 = +2 એકમ વધે (નવી પરિમિતિ = 24 + 2 = 26 એકમ).
b) પરિમિતિ ક્યારે ઘટે? (–2 એકમ)
જ્યારે નવો ચોરસ અંદરના ખાંચામાં એવી જગ્યાએ મુકાય જ્યાં તે ૩ બાજુઓ સાથે જોડાય :
૩ બાજુઓ ઢંકાઈ જાય છે (–3) અને માત્ર ૧ નવી બાજુ ખુલ્લી રહે છે (+1).
કુલ ફેરફાર = +1 – 3 = –2 એકમ ઘટે (નવી પરિમિતિ = 24 – 2 = 22 એકમ).
c) પરિમિતિ ક્યારે સમાન રહે? (0 ફેરફાર)
જ્યારે નવો ચોરસ અંદરના L-આકારના ખૂણામાં ૨ બાજુઓ સાથે જોડાય :
૨ બાજુઓ ઢંકાઈ જાય છે (–2) અને ચોરસની ૨ નવી બાજુઓ બહાર ખુલ્લી રહે છે (+2).
કુલ ફેરફાર = +2 – 2 = 0 ➜ પરિમિતિ 24 એકમ જ રહેશે (સમાન રહે).
ચરણના ઘરનો નકશો અને ખૂટતાં માપ
કેટલાંક માપ (measurement) આપેલાં છે :
a. ખૂટતાં માપ શોધો.
b. તેના ઘરનું ક્ષેત્રફળ શોધો."
a. ખૂટતાં માપ શોધવાની સૂત્ર મુજબ ગણતરી :
૧. નાનો શયનખંડ (પહોળાઈ શોધવી) :
| લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ | = | લંબાઈ × પહોળાઈ |
| 180 ચોરસ ફૂટ | = | 15 ફૂટ × પહોળાઈ |
| પહોળાઈ | = | 18015 = 12 ફૂટ |
👉 નાના શયનખંડનું માપ = 15 ફૂટ × 12 ફૂટ.
૨. શૌચાલયનું ક્ષેત્રફળ :
| ક્ષેત્રફળ | = | 5 ફૂટ × 10 ફૂટ = 50 ચોરસ ફૂટ |
b. ચરણના ઘરનું કુલ ક્ષેત્રફળ :
ઘરના પ્લોટની કુલ લંબાઈ = 36 ફૂટ અને પહોળાઈ = 30 ફૂટ :
| ઘરનું કુલ ક્ષેત્રફળ | = | લંબાઈ × પહોળાઈ |
| = | 36 ફૂટ × 30 ફૂટ | |
| = | 1080 ચોરસ ફૂટ |
શરણના ઘરનો નકશો અને ક્ષેત્રફળ
નીચે નકશો આપેલો છે (ઉપરની કુલ પહોળાઈ = 42 ft) :
• મોટો શયનખંડ (12 ફૂટ × 15 ફૂટ = 180 ચોરસ ફૂટ)
• રસોડું (18 ફૂટ × 10 ફૂટ = 180 ચોરસ ફૂટ)
• શૌચાલય (ક્ષેત્રફળ = 180 ચોરસ ફૂટ)
• નાનો શયનખંડ (12 ફૂટ × 10 ફૂટ)
• બેઠકખંડ (23 ફૂટ × ....)
• ચોકડી (ક્ષેત્રફળ = 70 ચોરસ ફૂટ)
• પ્રવેશદ્વાર
a. ખૂટતાં માપ શોધો.
b. તેના ઘરનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
👉 શરણના ઘર અને ચરણના ઘરના ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિની તુલના કરો."
a. શરણના ઘરના ઓરડાઓનાં પરિમાણો :
| ૧. નાનો શયનખંડ | = | 12 ફૂટ × 10 ફૂટ = 120 ચોરસ ફૂટ |
| ૨. રસોડું | = | 18 ફૂટ × 10 ફૂટ = 180 ચોરસ ફૂટ |
| ૩. મોટો શયનખંડ | = | 12 ફૂટ × 15 ફૂટ = 180 ચોરસ ફૂટ |
b. શરણના ઘરનું કુલ ક્ષેત્રફળ :
પ્લોટની લંબાઈ 42 ફૂટ અને પહોળાઈ 25 ફૂટ છે :
| શરણના ઘરનું કુલ ક્ષેત્રફળ | = | 42 ફૂટ × 25 ફૂટ = 1050 ચોરસ ફૂટ |
⚖️ ચરણના ઘર અને શરણના ઘરની તુલના (Comparison) :
| ચરણના ઘરનું ક્ષેત્રફળ | = | 1080 ચોરસ ફૂટ |
| શરણના ઘરનું ક્ષેત્રફળ | = | 1050 ચોરસ ફૂટ |
| ક્ષેત્રફળ તુલના | ➜ | ચરણના ઘરનું ક્ષેત્રફળ શરણના ઘર કરતાં 30 ચો.ફૂટ વધુ છે. (1080 – 1050 = 30) |
| ચરણના પ્લોટની પરિમિતિ | = | 2 × (36 + 30) = 2 × 66 = 132 ફૂટ |
| શરણના પ્લોટની પરિમિતિ | = | 2 × (42 + 25) = 2 × 67 = 134 ફૂટ |
| પરિમિતિ તુલના | ➜ | શરણના ઘરની પરિમિતિ ચરણના ઘર કરતાં 2 ફૂટ વધારે છે. |
મુખ્ય ગાણિતિક તારણ: બે પ્લોટમાંથી જેનું ક્ષેત્રફળ વધુ હોય તેની પરિમિતિ પણ વધુ જ હોય એવું જરૂરી નથી!
ક્ષેત્રફળના કોયડાઓ (Puzzles a, b, c, d)
૧. કોયડો (a) નો ઉકેલ :
| નીચેના લંબચોરસની લંબાઈ | = | ક્ષેત્રફળ ÷ પહોળાઈ = 10 ÷ 2 = 5 સેમી |
| વચ્ચેના લંબચોરસની પહોળાઈ | = | 5 – 3 = 2 સેમી |
| વચ્ચેના લંબચોરસની ઊંચાઈ | = | 10 ÷ 2 = 5 સેમી |
| ગુલાબી લંબચોરસની ઊંચાઈ | = | 5 – 2 = 3 સેમી |
| ગુલાબી ભાગનું ક્ષેત્રફળ | = | લંબાઈ × પહોળાઈ = 3 × 3 = 9 ચોરસ સેમી |
૨. કોયડો (b) નો ઉકેલ (ગુણોત્તર પદ્ધતિ) :
પ્રથમ હરોળમાં ક્ષેત્રફળ 13 ચો સેમી અને 26 ચો સેમી છે. ઊંચાઈ સમાન હોવાથી પહોળાઈ બમણી (1 : 2) છે :
| ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર | = | 1326 = 12 |
| ખૂટતું ક્ષેત્રફળ (?) | = | 15 × 2 = 30 ચોરસ સેમી |
૩. કોયડો (c) નો ઉકેલ :
| વચ્ચેના લંબચોરસની પહોળાઈ | = | 42 ÷ 6 = 7 સેમી |
| નીચેના લંબચોરસની પહોળાઈ | = | 7 + 5 = 12 સેમી |
| નીચેના લંબચોરસની ઊંચાઈ | = | 60 ÷ 12 = 5 સેમી |
| ગુલાબી લંબચોરસની ઊંચાઈ | = | કુલ ઊંચાઈ 15 – (6 + 5) = 15 – 11 = 4 સેમી |
| ગુલાબી લંબચોરસની પહોળાઈ | = | 7 – 3 = 4 સેમી |
| ખૂટતું ક્ષેત્રફળ (?) | = | 4 × 4 = 16 ચોરસ સેમી |
૪. કોયડો (d) નો ઉકેલ :
| જમણી બાજુના લંબચોરસની ઊંચાઈ | = | 18 ÷ 6 = 3 સેમી |
| ડાબી બાજુના લંબચોરસની ઊંચાઈ | = | 3 + 4 = 7 સેમી |
| ખૂટતી લંબાઈ (?) | = | ક્ષેત્રફળ ÷ ઊંચાઈ = 28 ÷ 7 = 4 સેમી |
| પ્રથમ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ | = | 5 મી × 10 મી = 50 ચોમી |
| બીજા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ | = | 2 મી × 7 મી = 14 ચોમી |
| બંને લંબચોરસના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો | = | 50 + 14 = 64 ચોરસ મીટર |
👉 64 ચોરસ મીટર ક્ષેત્રફળ ધરાવતા લંબચોરસનાં શક્ય પરિમાણ :
• 8 મી × 8 મી (ચોરસ)
• 16 મી × 4 મી
• 32 મી × 2 મી
| લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ | = | લંબાઈ × પહોળાઈ |
| 1000 ચોમી | = | 50 મી × પહોળાઈ |
| પહોળાઈ | = | 100050 = 20 મીટર |
જવાબ: બગીચાની પહોળાઈ 20 મીટર હશે.
| ઓરડાના ભોંયતળિયાનું ક્ષેત્રફળ | = | 5 મી × 4 મી = 20 ચોમી |
| ચોરસ શેતરંજીનું ક્ષેત્રફળ | = | 3 મી × 3 મી = 9 ચોમી |
| શેતરંજી વગરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ | = | 20 ચોમી – 9 ચોમી = 11 ચોરસ મીટર |
જવાબ: બાકી રહેલા ભાગનું ક્ષેત્રફળ 11 ચોરસ મીટર છે.
| બગીચાનું કુલ ક્ષેત્રફળ | = | 15 મી × 12 મી = 180 ચોમી |
| ૧ ફૂલના ક્યારાનું ક્ષેત્રફળ | = | 2 મી × 1 મી = 2 ચોમી |
| ચાર ખૂણાના 4 ક્યારાનું ક્ષેત્રફળ | = | 4 × 2 ચોમી = 8 ચોમી |
| ઘાસ ઉગાડવા માટે ઉપલબ્ધ વિસ્તાર | = | 180 ચોમી – 8 ચોમી = 172 ચોરસ મીટર |
જવાબ: ઘાસ ઉગાડવા માટે 172 ચોરસ મીટર વિસ્તાર ઉપલબ્ધ છે.
તાર્કિક ગણતરી :
| આકાર A (18 × 1 લંબચોરસ) | ➜ | ક્ષેત્રફળ = 18 ચોરસ એકમ |
| આકાર A ની પરિમિતિ | = | 2 × (18 + 1) = 2 × 19 = 38 એકમ |
| આકાર B (5 × 4 લંબચોરસ) | ➜ | ક્ષેત્રફળ = 20 ચોરસ એકમ |
| આકાર B ની પરિમિતિ | = | 2 × (5 + 4) = 2 × 9 = 18 એકમ |
👉 અહીં આકાર A નું ક્ષેત્રફળ (18) આકાર B (20) કરતાં ઓછું હોવા છતાં, તેની પરિમિતિ (38 એકમ) આકાર B (18 એકમ) કરતાં ઘણી વધારે છે!
7. 12 એકમ × 8 એકમ માપનો એક લંબચોરસ દોરો. તેની અંદર બરાબર અડધું ક્ષેત્રફળ આવરી લેતો બીજો લંબચોરસ દોરો, જે બહારના લંબચોરસને સ્પર્શ કરે નહીં."
• દાખલા 6 નો ઉકેલ: જો નોટબુકના પાનાની લંબાઈ L અને પહોળાઈ W હોય, તો અંદરના લંબચોરસની લંબાઈ = (L – 2) અને પહોળાઈ = (W – 3) સેમી થાય. પરિમિતિ = 2 × [(L – 2) + (W – 3)].
• દાખલા 7 નો ઉકેલ: બહારના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = 12 × 8 = 96 ચોરસ એકમ.
અંદરના લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = 96 ÷ 2 = 48 ચોરસ એકમ.
તે માટે અંદર 8 એકમ × 6 એકમ (અથવા 12 × 4) માપનો લંબચોરસ મધ્યમાં દોરી શકાય જે બહારની કિનારીને સ્પર્શશે નહીં.
a. દરેક લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ચોરસના ક્ષેત્રફળ કરતાં મોટું હોય છે.
b. ચોરસની પરિમિતિ બંને લંબચોરસની પરિમિતિના સરવાળા કરતાં મોટી હોય છે.
c. બંને લંબચોરસની પરિમિતિનો સરવાળો ચોરસની પરિમિતિ કરતાં હંમેશાં 112 ગણો હોય છે.
d. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ હંમેશાં બંને લંબચોરસના ક્ષેત્રફળના સરવાળા કરતાં ત્રણ ગણું મોટું હોય છે."
ગાણિતિક સાબિતી (ધારો કે ચોરસની બાજુ = s) :
| ચોરસની પરિમિતિ | = | 4 × s = 4s |
| કાપતાં મળતા ૧ લંબચોરસની પરિમિતિ | = | 2 × (s + s2) = 2 × 3s2 = 3s |
| બંને લંબચોરસની પરિમિતિનો સરવાળો | = | 3s + 3s = 6s |
| ગુણોત્તર (સરવાળો ÷ ચોરસ પરિમિતિ) | = | 6s4s = 32 = 112 (દોઢ ગણો) |
સાચો જવાબ: વિકલ્પ (c) હંમેશાં સાચો છે! (બંને લંબચોરસની પરિમિતિનો સરવાળો મૂળ ચોરસની પરિમિતિ કરતાં હંમેશાં દોઢ ગણો જ થાય).
પ્રકરણ 6 : પરિમિતિ અને ક્ષેત્રફળ - સારાંશ
🔹 પરિમિતિ (Perimeter): બહુકોણની પરિમિતિ તેની બધી બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો છે.
• લંબચોરસની પરિમિતિ તેની લંબાઈ અને પહોળાઈના સરવાળા કરતાં બમણી (2 ગણી) હોય છે :
📐 લંબચોરસની પરિમિતિ = 2 × (લંબાઈ + પહોળાઈ)
• ચોરસની પરિમિતિ તેની કોઈ પણ એક બાજુની લંબાઈ કરતાં ચાર ગણી (4 ગણી) હોય છે :
📐 ચોરસની પરિમિતિ = 4 × બાજુની લંબાઈ
• સમભુજ ત્રિકોણની પરિમિતિ :
📐 સમભુજ ત્રિકોણની પરિમિતિ = 3 × બાજુની લંબાઈ
🔹 ક્ષેત્રફળ (Area): બંધસમતલીય આકૃતિ દ્વારા સપાટી પર ઘેરાયેલા પ્રદેશના માપને ક્ષેત્રફળ કહે છે.
• ક્ષેત્રફળ હંમેશાં ચોરસ એકમ (ચોરસ સેમી, ચોરસ મીટર) માં મપાય છે.
• લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ :
🟩 લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ
• ચોરસનું ક્ષેત્રફળ :
🟩 ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = બાજુની લંબાઈ × બાજુની લંબાઈ
• કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ :
🟩 ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = 12 × (પાયો × ઊંચાઈ)
🔹 વિશેષ ગાણિતિક તારણો :
• બે બંધસમતલીય આકૃતિઓનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોવા છતાં પરિમિતિ અલગ હોઈ શકે છે, અથવા પરિમિતિ સમાન હોવા છતાં ક્ષેત્રફળ અલગ હોઈ શકે છે!
• કોઈપણ અનિયમિત આકારનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે તેને સરળ લંબચોરસ અને કાટકોણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવાની પદ્ધતિ શ્રેષ્ઠ છે.
બાળકો માટે સૂત્રમાં વપરાતી સંજ્ઞાઓના ગુજરાતી અર્થ :
