પ્રકરણ 3: ચતુષ્કોણની સમજ - સ્વાધ્યાય 3.3
નમસ્કાર વિદ્યાર્થીમિત્રો અને શિક્ષકમિત્રો! અહીં ધોરણ 8 ગણિતના ત્રીજા પ્રકરણના સ્વાધ્યાય 3.3 ના તમામ દાખલાઓની ગણતરી સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના ગુણધર્મોના આધારે સરળ રીતે સમજાવવામાં આવી છે. વિદ્યાર્થીઓની વિશેષ તૈયારી માટે આમાં પ્રેક્ટિસના વધુ દાખલા અને HOTS પ્રશ્નો સામેલ કર્યા છે.

સ્વાધ્યાય 3.3 : પ્રશ્નો અને જવાબો

પ્રશ્ન 1: ABCD એક સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે. દરેક વિધાનને પૂરું કરવા માટે વ્યાખ્યા કે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો :

• (i) AD = BC (સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.)
• (ii) ∠DCB = ∠DAB (સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોય છે.)
• (iii) OC = OA (સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે.)
• (iv) m∠DAB + m∠CDA = 180° (પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય છે.)

પ્રશ્ન 2: નીચે આપેલા સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણમાં અજ્ઞાત x, y, z નાં મૂલ્યો શોધો :

(i) ચતુષ્કોણ જેમાં ખૂણો B = 100° આપેલો છે અને બાજુમાં x, y, z શોધવાના છે.

અહીં ખૂણો B અને ખૂણો A એ પાસપાસેના ખૂણા છે, તેથી તેમનો સરવાળો 180° થાય.
∴ y + 100° = 180° ∴ y = 80°

સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી, x = y ∴ x = 80°

વૈકલ્પિક અંતઃકોણો સરખા હોવાથી, z = y ∴ z = 80°

(ii) ચતુષ્કોણ જેમાં એક ખૂણો 50° આપેલો છે.

પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોવાથી: 50° + x = 180° ∴ x = 130°

સામસામેના ખૂણા સમાન હોવાથી: y = x = 130° અને z = 50° (યુગ્મકોણ).

(iii) ચતુષ્કોણ જેમાં કાટખૂણો (90°) અને x, y, z આપેલા છે.

અહીં સામસામેના ખૂણા સરખા હોવાથી, x = 90° (અભિકોણ પણ કહી શકાય).

ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાનો સરવાળો 180° મુજબ: x + y + 30° = 180° ∴ 90° + y + 30° = 180° ∴ y = 60°

યુગ્મકોણના નિયમ મુજબ, z = y ∴ z = 60°

પ્રશ્ન 3: શું ચતુષ્કોણ ABCD સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ હોઈ શકે જો:

• (i) m∠D + m∠B = 180° ?
  → હોઈ પણ શકે અને ન પણ હોઈ શકે (જો બંને ખૂણા 90° ના હોય તો જ સમાંતર બાજુ બને, બાકી માત્ર આ શરતે ચોક્કસ ન કહેવાય).
• (ii) AB = DC = 8 સેમી, AD = 4 સેમી અને BC = 4.4 સેમી?
  → ના. કારણ કે સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ. અહીં AD (4 સેમી) અને BC (4.4 સેમી) સમાન નથી.
• (iii) m∠A = 70° અને m∠C = 65°?
  → ના. કારણ કે સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા સમાન હોવા જોઈએ, જ્યારે અહીં ખૂણો A (70°) અને ખૂણો C (65°) અલગ છે.

પ્રશ્ન 4, 5 અને 6 ના ટૂંકા જવાબો:

• પ્રશ્ન 4: એવા ચતુષ્કોણની આકૃતિ દોરો જે સમાંતર બાજુ ન હોય પરંતુ તેના બરાબર બે સામસામેના ખૂણાના માપ સમાન હોય.
  → પતંગાકાર (Kite) આકૃતિ દોરી શકાય.
• પ્રશ્ન 5: સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના પાસપાસેના ખૂણાઓનો ગુણોત્તર 3:2 છે, તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણાનાં માપ શોધો.
  → ધારો કે ખૂણા 3x અને 2x છે. પાસપાસેના ખૂણા પૂરક હોય: 3x + 2x = 180° ∴ 5x = 180° ∴ x = 36°. તેથી ખૂણાઓ 108°, 72°, 108° અને 72° થશે.
• પ્રશ્ન 6: સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના પાસપાસેના ખૂણાઓનાં માપ સમાન છે, તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણા શોધો.
  → ધારો કે બંને ખૂણા x અને x છે. x + x = 180° ∴ 2x = 180° ∴ x = 90°. તેથી ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણા 90° ના (કાટખૂણા) હશે.

પ્રશ્ન 7: આકૃતિમાં એક સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ HOPE દર્શાવેલ છે. x, y અને z ખૂણાનાં માપ શોધો. ખૂણો શોધવા કયા ગુણધર્મનો ઉપયોગ કર્યો છે તે જણાવો.

આકૃતિમાં O પાસેનો બહારનો ખૂણો 70° છે.

રૈખિક જોડના નિયમ મુજબ અંદરનો ખૂણો: ∠HOP = 180° - 70° = 110°

સામસામેના ખૂણા સમાન હોય: ∴ x = ∠HOP = 110°

હવે, રેખા HP છેદિકા હોવાથી યુગ્મકોણ સમાન થાય: ∴ y = 40°

∠E અને ∠H પાસપાસેના ખૂણા છે, તેથી તેમનો સરવાળો 180° થાય.

x + (40° + z) = 180°

110° + 40° + z = 180°

150° + z = 180°

∴ z = 180° - 150° ∴ z = 30°

પ્રશ્ન 8: નીચેની આકૃતિઓ GUNS અને RUNS સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે. x અને y શોધો (લંબાઈ સેમીમાં છે) :

(i) ચતુષ્કોણ GUNS માં (બાજુઓના માપ):

સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે.

GU = SN ∴ 3y - 1 = 26 ∴ 3y = 27 ∴ y = 9

SG = NU ∴ 3x = 18 ∴ x = 6

---

(ii) ચતુષ્કોણ RUNS માં (વિકર્ણોના માપ):

સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો પરસ્પર દુભાગે છે (અડધા અડધા ભાગ કરે છે).

એક વિકર્ણ પરથી: y + 7 = 20 ∴ y = 20 - 7 ∴ y = 13

બીજા વિકર્ણ પરથી: x + y = 16 (હવે y = 13 મુકતાં)

x + 13 = 16 ∴ x = 16 - 13 ∴ x = 3

પ્રશ્ન 9: ઉપરની આકૃતિમાં RISK અને CLUE બંને સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે, તો x શોધો.

ચતુષ્કોણ RISK માં: ∠K અને ∠S પાસપાસેના ખૂણા છે. ∴ ∠S = 180° - 120° = 60°.

ચતુષ્કોણ CLUE માં: ∠L અને ∠E સામસામેના ખૂણા છે. ∴ ∠E = ∠L = 70°.

હવે, વચ્ચે બનતા નાના ત્રિકોણમાં ત્રણેય ખૂણાનો સરવાળો 180° થાય.

∴ x + 60° + 70° = 180°

∴ x + 130° = 180°

∴ x = 180° - 130°

∴ x = 50°

પ્રશ્ન 10: નીચેની આકૃતિ સમલંબ ચતુષ્કોણ કેવી રીતે છે તે સમજાવો. કઈ બે બાજુઓ પરસ્પર સમાંતર છે?

આકૃતિમાં ∠M = 100° અને ∠L = 80° આપેલા છે.

અહીં, ∠M + ∠L = 100° + 80° = 180° થાય છે.

જ્યારે છેદિકા (ML) ની એક જ બાજુના અંતઃકોણોનો સરવાળો 180° થાય, ત્યારે તે બે રેખાઓ સમાંતર હોય છે.

તેથી રેખાખંડ NM || રેખાખંડ KL. (એટલે કે આ બે બાજુઓ સમાંતર છે).

ચતુષ્કોણમાં જો સામસામેની બાજુઓની એક અને માત્ર એક જ જોડ સમાંતર હોય, તો તેને સમલંબ ચતુષ્કોણ કહેવાય. તેથી KLMN સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.

પ્રશ્ન 11: આકૃતિમાં જો AB || DC હોય, તો m∠C શોધો. (અહીં m∠B = 120° આપેલ છે)

અહીં AB અને DC સમાંતર રેખાઓ છે (AB || DC) અને BC તેમની છેદિકા છે.

તેથી, ∠B અને ∠C એ છેદિકાની એક જ બાજુના અંતઃકોણો બને, જેમનો સરવાળો 180° થાય.

∴ m∠B + m∠C = 180°

∴ 120° + m∠C = 180°

∴ m∠C = 180° - 120°

∴ m∠C = 60°

પ્રશ્ન 12: આકૃતિમાં જો SP || RQ હોય, તો ∠P અને ∠S નું માપ શોધો. (શું m∠P શોધવાની અન્ય કોઈ રીત છે?)

અહીં SP || RQ આપેલ છે અને ∠Q = 130° તથા ∠R = 90° (કાટખૂણાની નિશાની) આપેલ છે.

1. ∠S શોધવા: ∠R અને ∠S એ છેદિકા (SR) ની એક જ બાજુના અંતઃકોણો હોવાથી:
∠S + ∠R = 180° ∴ ∠S + 90° = 180° ∴ ∠S = 90°

2. ∠P શોધવા: ∠P અને ∠Q પણ અંતઃકોણો છે:
∠P + ∠Q = 180° ∴ ∠P + 130° = 180° ∴ ∠P = 50°

---

અન્ય રીત: હા, ∠P શોધવાની બીજી રીત પણ છે. ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાનો સરવાળો 360° થાય છે.
∠P + ∠Q + ∠R + ∠S = 360°
∠P + 130° + 90° + 90° = 360°
∠P + 310° = 360° ∴ ∠P = 50°

વિશેષ પ્રેક્ટિસ માટેના દાખલા (જાતે ગણો)

વિદ્યાર્થીઓનો મહાવરો વધારવા માટે અહીં વધારાના દાખલા આપેલા છે (જવાબો કૌંસમાં છે):

• (1) એક સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણનો એક ખૂણો તેના પાસપાસેના ખૂણા કરતાં ત્રીજા ભાગનો છે, તો ચતુષ્કોણના બધા જ ખૂણા શોધો.    [જવાબ: 45°, 135°, 45°, 135°]
• (2) સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની પરિમિતિ 150 સેમી છે. જો તેની એક બાજુની લંબાઈ બીજી બાજુ કરતાં 25 સેમી વધુ હોય, તો ચતુષ્કોણની બધી બાજુઓનાં માપ શોધો.    [જવાબ: 25 સેમી, 50 સેમી, 25 સેમી, 50 સેમી]
• (3) જો સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો સમાન હોય, તો સાબિત કરો કે તે લંબચોરસ છે. (મૌખિક ચર્ચા માટે)
• (4) એક સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના ખૂણાઓ (3x - 10)° અને (2x + 30)° સામસામેના ખૂણા છે. તો x નું મૂલ્ય શોધી ખૂણાનું માપ મેળવો.    [જવાબ: x = 40, ખૂણાનું માપ 110°]

વિચારવા લાયક વિશેષ પ્રશ્નો (HOTS Questions)

1. શું એવો કોઈ ચતુષ્કોણ શક્ય છે જેના ચારેય ખૂણા લઘુકોણ (90° થી નાના) હોય? શા માટે?

જવાબ: ના, તે શક્ય નથી. કારણ કે જો ચારેય ખૂણા લઘુકોણ હોય (દરેકનું માપ 90° થી ઓછું, ધારો કે મહત્તમ 89° પણ લઈએ), તો ચારેય ખૂણાનો સરવાળો 360° થી ઓછો થાય. પરંતુ ચતુષ્કોણના ચારેય ખૂણાનો સરવાળો હંમેશા ચોક્કસ 360° જ થવો જોઈએ.

2. સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના બે વિકર્ણો તેને કુલ કેટલા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે અને શું તે બધા ત્રિકોણ ક્ષેત્રફળમાં સમાન હોય છે?

જવાબ: સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના બે વિકર્ણો તેને કુલ 4 (ચાર) ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. અને હા, તે ચારેય ત્રિકોણ ક્ષેત્રફળની દ્રષ્ટિએ બિલકુલ સમાન (એકરૂપ જેવા) હોય છે.

શિક્ષકમિત્રો અને વિદ્યાર્થીઓ, જો તમને ગણિતના આ જવાબો અને વધારાના પ્રેક્ટિસ દાખલાઓ ગમી હોય તો આ પોસ્ટ તમારા મિત્રો અને અન્ય શિક્ષક ગ્રુપમાં ચોક્કસ શેર કરજો!