પ્રકરણ 3: ચતુષ્કોણની સમજ - સ્વાધ્યાય 3.2
નમસ્કાર વિદ્યાર્થીમિત્રો અને શિક્ષકમિત્રો! અહીં ધોરણ 8 ગણિતના ત્રીજા પ્રકરણના સ્વાધ્યાય 3.2 ના તમામ દાખલાઓની ગણતરી ખૂબ જ સરળ રીતે સમજાવવામાં આવી છે. આ સ્વાધ્યાયમાં મુખ્યત્વે "બહુકોણના બહારના ખૂણાઓના માપનો સરવાળો 360° થાય છે" તે નિયમનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.

સ્વાધ્યાય 3.2 : પ્રશ્નો અને જવાબો

પ્રશ્ન 1: નીચેની આકૃતિઓમાં x શોધો :

(a) પ્રથમ આકૃતિ (ત્રિકોણ) : બહારના ખૂણા 125°, 125° અને x આપેલા છે.

આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બહુકોણના બહારના ખૂણાઓનો સરવાળો 360° થાય છે.

∴ 125° + 125° + x = 360°

∴ 250° + x = 360°

∴ x = 360° - 250°

∴ x = 110°

---

(b) બીજી આકૃતિ (પંચકોણ) : બહારના ખૂણાઓ 90°, 60°, 90°, 70° અને x આપેલા છે.

અહીં બે જગ્યાએ કાટખૂણા (90°) ની નિશાની છે, જે દર્શાવે છે કે બહારનો ખૂણો 90° છે.

બહુકોણના બહારના ખૂણાઓનો સરવાળો = 360°

∴ 90° + 60° + 90° + 70° + x = 360°

∴ 310° + x = 360°

∴ x = 360° - 310°

∴ x = 50°

પ્રશ્ન 2: નીચે પ્રમાણેની બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણમાં બહારના ખૂણાનું માપ શોધો :

સૂત્ર: નિયમિત બહુકોણના બહારના ખૂણાનું માપ = 360°બાજુઓની સંખ્યા (n)

(i) 9 બાજુઓ

∴ બહારના ખૂણાનું માપ = 360°9

∴ જવાબ = 40°

(ii) 15 બાજુઓ

∴ બહારના ખૂણાનું માપ = 360°15

∴ જવાબ = 24°

પ્રશ્ન 3: એક નિયમિત બહુકોણને કેટલી બાજુઓ હોય, તો તેના દરેક બહારના ખૂણાનું માપ 24° થાય?

અહીં, બહારના ખૂણાનું માપ = 24° આપેલું છે.

બાજુઓની સંખ્યા (n) = 360°બહારના ખૂણાનું માપ

n = 360°24°

∴ બાજુઓની સંખ્યા = 15

પ્રશ્ન 4: એક નિયમિત બહુકોણને કેટલી બાજુઓ હોય, તો તેના દરેક અંદરના ખૂણાનું માપ 165° થાય?

અહીં અંદરના ખૂણાનું માપ = 165° આપેલું છે.

રૈખિક જોડના નિયમ મુજબ, (અંદરનો ખૂણો + બહારનો ખૂણો = 180°)

∴ બહારના ખૂણાનું માપ = 180° - 165° = 15°

હવે, બાજુઓની સંખ્યા (n) = 360°બહારના ખૂણાનું માપ

n = 360°15°

∴ બાજુઓની સંખ્યા = 24

પ્રશ્ન 5 (a): એવો નિયમિત બહુકોણ શક્ય છે કે જેમાં દરેક બહારના ખૂણાનું માપ 22° હોય?

જવાબ: ના. કારણ કે બાજુઓની સંખ્યા શોધવા 360° ને 22° વડે ભાગવા પડે. પરંતુ 360 ને 22 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાતા નથી (જવાબ પૂર્ણાંક મળતો નથી). બાજુઓની સંખ્યા હંમેશા પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ.

---

પ્રશ્ન 5 (b): શું આ માપ નિયમિત બહુકોણના અંદરના ખૂણાનું હોઈ શકે? શા માટે?

જવાબ: ના. જો અંદરના ખૂણાનું માપ 22° હોય, તો બહારના ખૂણાનું માપ (180° - 22°) = 158° થાય. હવે 360 ને 158 વડે પણ નિઃશેષ ભાગી શકાતા નથી. તેથી આ શક્ય નથી.

પ્રશ્ન 6 (a): નિયમિત બહુકોણમાં અંતઃકોણ (અંદરના ખૂણા) નું ઓછામાં ઓછું માપ કેટલું હોઈ શકે? કેમ?

જવાબ: 60°. સૌથી ઓછી બાજુઓ ધરાવતો નિયમિત બહુકોણ 'સમબાજુ ત્રિકોણ' (3 બાજુ) છે. ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાનો સરવાળો 180° થાય, તેથી તેના દરેક ખૂણાનું માપ (180° / 3) = 60° મળે છે. આનાથી ઓછું માપ શક્ય નથી.

---

પ્રશ્ન 6 (b): નિયમિત બહુકોણમાં બહિષ્કોણ (બહારના ખૂણા) નું વધુમાં વધુ માપ કેટલું હોઈ શકે?

જવાબ: 120°. આપણે જાણીએ છીએ કે અંદરનો ખૂણો જેટલો નાનો હોય, બહારનો ખૂણો તેટલો જ મોટો થાય. ઓછામાં ઓછો અંદરનો ખૂણો 60° છે, તેથી વધુમાં વધુ બહારનો ખૂણો = 180° - 60° = 120° જ હોઈ શકે.

વિદ્યાર્થીઓ માટે પ્રેક્ટિસના દાખલા (જાતે ગણો)

નીચેના દાખલા તમારી નોટબુકમાં જાતે ગણવાનો પ્રયત્ન કરો. ચકાસણી માટે કૌંસમાં જવાબ આપેલા છે:

• (1) એક નિયમિત બહુકોણને 10 બાજુઓ છે, તો તેના દરેક બહારના ખૂણાનું માપ કેટલું થશે?    [જવાબ: 36°]
• (2) જો કોઈ નિયમિત બહુકોણના દરેક બહારના ખૂણાનું માપ 45° હોય, તો તેને કેટલી બાજુઓ હશે?    [જવાબ: 8 બાજુઓ (અષ્ટકોણ)]
• (3) એક ચતુષ્કોણના ત્રણ બહારના ખૂણાઓ અનુક્રમે 110°, 80° અને 70° છે, તો ચોથા બહારના ખૂણાનું માપ શોધો.    [જવાબ: 100°]

વિચારવા લાયક વિશેષ પ્રશ્નો (HOTS Questions)

1. "કોઈપણ બહુકોણના બહારના ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 360° જ કેમ થાય છે?"

જવાબ: કલ્પના કરો કે તમે કોઈ બહુકોણ (જેમ કે પંચકોણ) ના એક ખૂણે ઊભા છો. તમે તેની કિનારી (બાજુ) પર ચાલવાનું શરૂ કરો છો અને દરેક ખૂણે વળો છો (જે બહારનો ખૂણો દર્શાવે છે). જ્યારે તમે આખું ચક્કર લગાવીને ફરી તમારી મૂળ જગ્યાએ આવો છો, ત્યારે તમે એક આખું વર્તુળ પૂર્ણ કર્યું ગણાય. એક સંપૂર્ણ વર્તુળનું માપ 360° હોય છે. તેથી જ બહારના ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 360° થાય છે.

2. શું એવો કોઈ બહુકોણ હોઈ શકે જેના અંદરના અને બહારના ખૂણાનું માપ એકદમ સરખું હોય?

જવાબ: હા, ચોક્કસ! ચોરસ (અથવા લંબચોરસ) એવો બહુકોણ છે. અંદરનો અને બહારનો ખૂણો બંને મળીને 180° બનાવે છે (રૈખિક જોડ). જો બંને સરખા હોય, તો (180° / 2) = 90° થાય. ચોરસમાં દરેક અંદરનો અને બહારનો ખૂણો 90° નો હોય છે.

શિક્ષકમિત્રો અને વિદ્યાર્થીઓ, જો તમને ગણિતના આ જવાબો અને ગણતરીની આ પદ્ધતિ ગમી હોય તો આ પોસ્ટ તમારા મિત્રો અને અન્ય શિક્ષક ગ્રુપમાં ચોક્કસ શેર કરજો!